Pregunta 3

$$H=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

1. $n=6$, $k = 3$ y $r = n-k = 3$.

   La matriz generadora se obtiene permutando las columnas $4$ y $2$:
   

   $$H^*=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   obteniendo la matriz generadora correspondiente
   
   $$G^*=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   y volviendo a permutar columnas
   
   $$G=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$
   
   

2. La distancia mínima se obtiene buscando sumas de columnas que den el vector nulo. El menor número de columnas que suman 0 es tres, por lo que la distancia mínima del código es $\delta(C) = 3$.

   La tabla de síndromes completa es la siguiente:
   

   $$\begin{array}{\vert c\vert c\vert} \hline \textrm{Líder} & \... ... & 010 \\ 000001 & 001 \\ 010010 & 110 \\ \hline \end{array}$$
   
   

3. Mensajes:
   • $x=101101$, $Hx = 000$, con lo que $x\in C(n,k)$. Según la matriz generadora obtenida, $G$, los bits del mensaje están en las posiciones 1, 4 y 3, $m_1 = x_1$, $m_2 = x_4$ y $m_3 = x_3$, con lo que $m=101$.
   • $x=100001$, $Hx = 100$, con lo que $x\notin C(n,k)$ debido al error asociado a $Hx$, $e = 010000$. Corregimos a la palabra $x + e=110001$, y $m=100$.
   • $x=011011$, $Hx = 100$, con lo que $x\notin C(n,k)$ debido al mismo error que antes. Corregimos a la palabra $x + e=001011$, y $m=001$.

4. La palabra $x=100001$ tiene peso $w(x) = 2<\delta(C)$. Por lo tanto, al ser el código lineal y cumplirse que $w_{min} = \delta(C)$, no es necesario multiplicarla por la matriz de paridad $H$ para poder afirmar que no pertenece al código. Además, la distancia de Hamming de esta palabra a la fila 2 de la matriz generadora $G$, es 1, con lo que la corrección se realizará al vector que forma la fila dos de la matriz, que pertenece al código.